Théorème des valeurs intermédiaires :
Soit \(f:[a,b]\to\Bbb R\) une fonction continue sur un segment
Pour tout réel \(y\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe un \(c\in[a,b]\) tel que \(f(c)=y\)
! \(c\) n'est pas forcément unique
Théorème des valeurs intermédiaires :
Soit \(f:[a,b]\to\Bbb R\) continue
Alors \(\forall y\in[f(a),f(b)],\exists c\in[a,b],y=f(c)\)
Corollaires
Corrolaire du théorème des valeurs intermédiaires :
Soit \(f:[a,b]\to\Bbb R\) une fonction continue sur un segment
Si \(f(a)\times f(b)\lt 0\), alors il existe \(c\in[a,b]\) tel que \(f(c)=0\)
Démonstration
$$f(a)\times f(b)\lt 0\Longrightarrow (f(a)\gt 0\land f(b)\lt 0)\lor(f(a)\lt 0\land f(b)\gt 0)$$
Alors \(y=0\in[a,b\) et \(\exists c\in[a,b]\text{ tq } f(c)=y=0\)]
Applications
Application du théorème des valeurs intermédiaires :
- Tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle
Démonstration :
soit \(P(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i\) avec \(n\) impair
Soit \(a_n\gt 0\), alors \(\underset{x\to\infty}\lim P(x)=\infty\) et \(\underset{x\to-\infty}\lim P(x)=-\infty\)
Alors il existe deux réels \(b\) et \(c\) tels que \(f(b) \lt 0\) et \(f(c)\gt 0\)
Alors \(f(a)\times f(b)\lt 0\) et, d'après le corrolaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe \(d\in[b,c\) tel que \(f(d)=0\)]
Proposition :
Soit \(f:I\to\Bbb R\) une fonction continue sur un intervalle \(J\)
Alors \(f(J)\) est un intervalle
Démonstration :
soient \(y_1,y_2\in f(I), y_1\leqslant y_2\)
Soit \(y\in[y_1,y_2\)
Démontrons que \(y\in f(I)\). Par construction, il existe \(x_1,x_2\in I\) tels que \(f(x_1)=y_1\) et \(f(x_2)=y_2\)
Donc \(y\in[f(x_1),f(x_2)]\)
Par TVI, il existe \(x\in I\) tel que \(f(x)=y\)
Donc \(y\in f(I)\)]
Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :
Soit \(f:I\to\Bbb R\) une fonction continue sur un intervalle \(I\)
Alors \(f(I)\) est un intervalle de \(\Bbb R\)
De plus, si \(I=[a,b]\), alors \(f(I)={{[m,M]}}\)